Евгений Юрьевич Эпов родился 4 октября 1988 года в селе Мильгидун Чернышевского района Читинской области. Учился в местной школе, с детства увлекался спортом, занимался боксом и футболом. Окончил в Чернышевске профессиональное училище № 20 с отличием.
После завершения срочной службы остался проходить службу по контракту во Внутренних войсках МВД России в Челябинске. В октябре 2009 года Евгений успешно прошёл квалификационные испытания и получил право ношения крапового берета. В ноябре 2011 года сержант Е. Ю. Эпов был направлен в составе 23-го отряда специального назначения (войсковая часть № 6830) в очередную командировку для проведения контртеррористических операций в Республику Дагестан.
27 января 2012 года группа спецназовцев сопровождала оперативников ФСБ в Кизлярском районе. В лесном массиве боевиками была организована засада. Бандиты открыли огонь из автоматов и пулемёта. В результате вооружённого столкновения все боевики были уничтожены, однако, погибли и четыре челябинских спецназовца, среди них сержант Эпов, самый старший из бойцов. Боевики бросили две ручные гранаты. Одна, взорвавшись, по счастью, не причинила вреда. Вторая упала рядом с ребятами Эпова. Евгений крикнул: «Граната!», закрыв её собственным телом. Взрывом его подбросило и перевернуло на спину. Благодаря ему потери оказались меньшими, чем могли бы быть.
Указом Президента России от 28 апреля 2012 года № 532 сержанту Евгению Юрьевичу Эпову за героизм, мужество и самоотверженность, проявленные при исполнении воинского долга, присвоено звание Героя Российской Федерации (посмертно).
Похоронен 3 февраля 2012 года на кладбище села Мильгидун Чернышевского района Забайкальского края.
Около школы в родном селе Мильгидун 4 октября 2012 года открыт памятник Евгению Эпову.